Czym jest średnia arytmetyczna i średnia ważona
Średnią arytmetyczną obliczasz w dwóch ruchach. Zsumuj wszystkie wartości liczbowe, a potem podziel sumę przez liczbę pozycji. Taki rachunek zakłada, że każda pozycja waży tyle samo, i właśnie dlatego bywa mylący. Ocena ze sprawdzianu z całego działu waży w praktyce więcej niż ocena z kartkówki, a wynik ankiety zebranej od tysiąca osób mówi więcej niż ten sam odsetek policzony z dziesięciu odpowiedzi.
Średnia ważona naprawia ten problem. Każdą wartość mnożymy przez przypisaną jej wagę, iloczyny sumujemy, a sumę dzielimy przez sumę wag: (x₁·w₁ + x₂·w₂ + … ) ÷ (w₁ + w₂ + …). Im wyższa waga, tym mocniej pozycja przyciąga wynik w swoją stronę. Gdy wszystkie wagi są równe, wynik wychodzi identyczny ze średnią arytmetyczną, co bywa najprostszym sposobem sprawdzenia, czy wagi trafiły do pola we właściwej kolejności.
Do obliczania średniej ważonej potrzebujesz dwóch list liczb o tej samej długości. Wagi nie muszą sumować się do stu ani do jedności, bo liczą się wyłącznie proporcje między nimi. Zestaw 1, 2, 1 daje dokładnie ten sam wynik co 10, 20, 10 albo 0,25, 0,5, 0,25.
Ten sam mechanizm działa daleko poza szkołą - średnią ważoną liczą uczelnie przy ocenach z punktami ECTS, działy zakupów przy cenach tego samego towaru z kilku partii, a analitycy przy indeksach giełdowych, w których waga spółki zależy od jej kapitalizacji.
Kiedy mediana opisuje dane lepiej niż średnia
Średnia jest wrażliwa na wartości skrajne. W zbiorze 1, 2, 3, 4, 100 średnia wynosi 22, choć cztery z pięciu liczb są mniejsze od pięciu. Mediana, czyli wartość środkowa po posortowaniu, wynosi tu 3 i znacznie lepiej opisuje typową wartość. Dlatego o zarobkach mówi się medianą, a nie średnią. Kilka bardzo wysokich wynagrodzeń podnosi średnią, ale nie zmienia sytuacji większości.
Przy parzystej liczbie pozycji mediana to średnia z dwóch środkowych wartości. Dla listy 2, 4, 6, 8 mediana wynosi 5, mimo że taka liczba w zbiorze nie występuje.
Dominanta, nazywana też modą, to wartość powtarzająca się najczęściej. Sprawdza się przy danych o skokowych wartościach, na przykład przy rozmiarach butów albo przy ocenach w skali od 1 do 6. Dominanty czasem po prostu nie ma. Gdy każda wartość pojawia się raz, kalkulator nie ma czego wskazać; gdy kilka wartości występuje równie często, wypisuje je wszystkie.
Odchylenie standardowe dla populacji i dla próby
Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo liczby rozrzucone są wokół średniej. Dwa zbiory mogą mieć tę samą średnią i zupełnie inny charakter. Zbiór 5, 5, 5 ma średnią 5 i odchylenie zero, a zbiór 1, 5, 9 ma tę samą średnią przy odchyleniu ponad trzy.
Rozróżnienie między populacją a próbą sprowadza się do dzielnika. Przy populacji sumę kwadratów odchyleń dzielimy przez liczbę pozycji, przy próbie przez liczbę pozycji pomniejszoną o jeden. Poprawka nazywana korektą Bessela wynika stąd, że średnia z próby sama jest oszacowaniem i zaniżałaby rozrzut. Przy pięciu pozycjach różnica sięga kilkunastu procent, przy stu spada poniżej procenta.
Wybierz populację, gdy Twoje liczby to wszystko, co jest do policzenia, na przykład oceny jednego ucznia w jednym semestrze. Wybierz próbę, gdy masz przed sobą wycinek czegoś większego, na przykład pomiary dziesięciu sztuk z całej produkcji. Dla jednej pozycji odchylenie z próby nie istnieje, bo dzielnik wynosiłby zero.
Wagi zerowe i ujemne
Zero w polu wagi jest dopuszczalne i wyłącza pozycję z rachunku. Przydaje się, gdy chcesz tymczasowo pominąć wartość bez kasowania jej z listy. Kalkulator wypisuje wtedy, ile pozycji wypadło z obliczeń, żeby nie zniknęły niepostrzeżenie.
Wagi ujemne odrzucamy, bo przy nich średnia ważona przestaje być średnią. Przy wagach 3 i −1 wynik potrafi wypaść poza przedziałem między najmniejszą a największą wartością, co przeczy samej idei uśredniania. Odrzucamy też wpis, w którym suma wag wynosi zero, bo dzielenie przez zero nie daje żadnej liczby.
Jak kalkulator czyta wpisane liczby
Rozdzielanie liczb brzmi banalnie, ale jest źródłem realnych błędów. Poprzednia wersja tego narzędzia zamieniała każdy przecinek na spację przed podziałem listy, przez co polski przecinek dziesiętny rozbijał jedną liczbę na dwie. Wpisanie „2,25 2,75” dawało cztery liczby (2, 25, 2 i 75) i średnią 26 zamiast 2,5.
Ta wersja rozdziela pozycje po nowej linii, średniku, tabulatorze i spacji, a przecinek traktuje jako część liczby. Dopiero gdy taki podział zawiedzie, kalkulator dzieli listę po przecinkach, więc zapis „10, 20, 30” też zostanie odczytany poprawnie. Odstęp jako separator tysięcy rozpoznajemy wyłącznie w liczbach z częścią dziesiętną, bo tylko wtedy zapis jest jednoznaczny. Wartość „1 234,56” to jedna liczba, a „100 200” to dwie.
W kolumnie obok pokazujemy wszystkie rozpoznane liczby jako osobne etykiety. Zerknięcie na tę listę zajmuje sekundę i od razu widać, czy coś się rozjechało. Taka kontrola idzie szybciej niż przeliczanie wyniku w pamięci.